题目

题型：不详难度：来源：

设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若·+·=8,求k的值.

答案

(1) +=1   (2) k=±

解析

解:(1)设F(-c,0),由=,知a=c.
过点F且与x轴垂直的直线为x=-c,
代入椭圆方程有+=1,
解得y=±,
于是=,解得b=,
又a²-c²=b²,从而a=,c=1,
所以椭圆的方程为+=1.
(2)设点C(x₁,y₁),D(x₂,y₂),
由F(-1,0)得直线CD的方程为y=k(x+1).
由方程组消去y,整理得(2+3k²)x²+6k²x+3k²-6=0,
则x₁+x₂=-,x₁x₂=.
因为A(-,0),B(,0),
所以·+·=(x₁+,y₁)·(-x₂,-y₂)+(x₂+,y₂)·(-x₁,-y₁)=6-2x₁x₂-2y₁y₂=6-2x₁x₂-2k²(x₁+1)(x₂+1)
=6-(2+2k²)x₁x₂-2k²(x₁+x₂)-2k²=6+.
由已知得6+=8,解得k=±.