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题目
题型:不详难度:来源:
如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心在坐标原点O,右焦点为F.若C的右准线l的方程为x=4,离心率e=.

(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设点P为准线l上一动点,且在x轴上方.圆M经过O、F、P三点,求当圆心M到x轴的距离最小时圆M的方程.
答案
(1)=1(2)(x-1)2+(y-2)2=9.
解析
(1)由题意,设椭圆C的标准方程为=1(a>b>0),则解得a=2,c=2.从而b2=a2-c2=4.所以所求椭圆C的标准方程为=1.
(2)(解法1)由(1)知F(2,0).由题意可设P(4,t),t>0.
线段OF的垂直平分线方程为x=1.①
因为线段FP的中点为,斜率为
所以FP的垂直平分线方程为y-=-(x-3),即y=-x+.②
联立①②,解得即圆心M.
因为t>0,所以≥2=2,当且仅当,即t=2时,圆心M到x轴的距离最小,此时圆心为M(1,2),半径为OM=3.故所求圆M的方程为(x-1)2+(y-2)2=9.
(解法2)由(1)知F(2,0).由题意可设P(4,t),t>0.因为圆M过原点O,故可设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey=0.将点F、P的坐标代入得解得
所以圆心M的坐标为,即(1,).因为t>0,所以≥2=2,当且仅当,即t=2时,圆心M到x轴的距离最小,此时E=-4.故所求圆M的方程为x2+y2-2x-4y=0.D=-2,
核心考点
试题【如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心在坐标原点O,右焦点为F.若C的右准线l的方程为x=4,离心率e=.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设点P为准线l上】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,正方形CDEF内接于椭圆,且它的四条边与坐标轴平行,正方形GHPQ的顶点G,H在椭圆上,顶点P,Q在正方形的边EF上.且CD=2PQ=

(1)求椭圆的方程;
(2)已知点M(2,1),平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m:≠0),l交椭圆于A,B两个不同点,求证:直线MA,MB与x轴始终围成一个等腰三角形.
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已知直线2x+y-4=0过椭圆E:的右焦点F2,且与椭圆E在第一象限的交点为M,与y轴交于点N,F1是椭圆E的左焦点,且|MN|=|MF1|,则椭圆E的方程为   .
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设定圆,动圆过点且与圆相切,记动圆圆心的轨迹为.
(1)求轨迹的方程;
(2)已知,过定点的动直线交轨迹两点,的外心为.若直线的斜率为,直线的斜率为,求证:为定值.
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已知是椭圆的两个焦点,为坐标原点,点在椭圆上,且,⊙是以为直径的圆,直线与⊙相切,并且与椭圆交于不同的两点

(1)求椭圆的标准方程;
(2)当,且满足时,求弦长的取值范围.
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曲线的焦距为4,那么的值为(   )
A.B.C.D.

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