题目
题型:不详难度:来源:
(1)当关于点对称时,求证:;
(2)当直线经过点时,求证:不可能为等边三角形.
答案
解析
试题分析:(1)利用“点代法”求点的坐标关系,在求解过程中证明结论.因为关于点对称,所以,代入椭圆方程得,两式相减得,所以(2)本题实质为“弦中点”问题,设中点为,由“点差法”得又假设为等边三角形时,有所以这与弦中点在椭圆内部矛盾,所以假设不成立.
试题解析:(1)证明:
因为在椭圆上,
所以 1分
因为关于点对称,
所以, 2分
将代入②得③,
由①和③消解得, 4分
所以. 5分
(2)当直线斜率不存在时,,
可得,不是等边三角形. 6分
当直线斜率存在时,显然斜率不为0.
设直线:,中点为,
联立消去得, 7分
由,得到① 8分
又,
所以,
所以 10分
假设为等边三角形,则有,
又因为,
所以,即, 11分
化简,解得或 12分
这与①式矛盾,所以假设不成立.
因此对于任意不能使得,故不能为等边三角形. 14分
核心考点
举一反三
(1)若直线的方程为,求外接圆的方程;
(2)判断是否存在直线,使得、是线段的两个三等分点,若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
(1)求椭圆的方程.
(2)设斜率为的直线与相交于、两点,记面积的最大值为,证明:.
(1)若点P的坐标,求m的值;
(2)若椭圆C上存在点M,使得,求m的取值范围.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上,设点P是椭圆上的任意一点,若当最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,求实数m的取值范围.
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