题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且过点（）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线l:y=kx+t与圆（1＜R＜2）相切于点A，且l与椭圆E只有一个公共点B.
①求证：；
②当R为何值时，取得最大值？并求出最大值．

答案

(1)；（2）①证明见解析；②时，取得最大值为1．

解析

试题分析：(1)椭圆的离心率为，又椭圆过已知点，即，再加上，联立可求得；（2）直线与圆及椭圆都相切，因此可以把直线方程与椭圆方程(或圆方程)联立方程组，此方程组只有一解，由此可得到题中参数的关系式，当然直线与圆相切，可利用圆心到直线的距离等于圆的半径来列式，得到的两个等式中消去参数即可证得①式；而②要求的最大值，可先求出，注意到，因此，这里设，由①中的方程(组)可求得，最终把用表示，，利用不等式知识就可求得最大值.
试题解析：(1)椭圆E的方程为      4分
（2）①因为直线与圆C:相切于A,得,
即①        5分
又因为与椭圆E只有一个公共点B_，
由得,且此方程有唯一解.
则即
②由①②,得             8分
②设，由得
由韦达定理,
∵点在椭圆上,∴
∴                 10分
在直角三角形OAB中,

∴            12分