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题目
题型:不详难度:来源:
长方形中,.以的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系.

(1) 求以为焦点,且过两点的椭圆的标准方程;
(2) 过点的直线交(1)中椭圆于两点,是否存在直线,使得以线段为直径的圆恰好过坐标原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
答案
(1);(2) 存在过的直线:,理由见解析.
解析

试题分析:(1)由题意可得点的坐标,设出椭圆的标准方程,根据题意知,求得,进而根据的关系求得,则椭圆的方程可得;(2)设直线的方程为.与椭圆方程联立,设两点坐标分别为.根据韦达定理求得,进而根据若以为直径的圆恰好过原点,推断则,得知,根据求得代入即可求得,最后检验看是否符合题意.
(1)由题意可得点的坐标分别为
设椭圆的标准方程是.

.
椭圆的标准方程是
(2) 由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为.
联立方程,消去整理得
两点的坐标分别为

若以为直径的圆恰好过原点,则,所以
所以,,即
所以,即
满足
所以直线的方程为,或.
故存在过的直线:使得以弦为直径的圆恰好过原点.
核心考点
试题【长方形中,,.以的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系.(1) 求以、为焦点,且过、两点的椭圆的标准方程;(2) 过点的直线交(1)中椭圆于两点,是否存在直】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
给定椭圆.称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为,其短轴上的一个端点到F的距离为
(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程;
(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点,过动点P作直线,使得与椭圆C都只有一个交点,试判断是否垂直?并说明理由.
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已知椭圆)过点,且椭圆的离心率为
(1)求椭圆的方程;
(2)若动点在直线上,过作直线交椭圆两点,且为线段中点,再过作直线.求直线是否恒过定点,如果是则求出该定点的坐标,不是请说明理由。
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已知椭圆C的方程为(m>0),如果直线y=x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F,则m的值为(  )
A.2 B.2
C.8 D.2

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已知点M(,0),椭圆+y2=1与直线y=k(x+)交于点A、B,则△ABM的周长为________.
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已知椭圆的焦点为,点是椭圆上的一点,轴的交点恰为的中点, .
(1)求椭圆的方程;
(2)若点为椭圆的右顶点,过焦点的直线与椭圆交于不同的两点,求面积的取值范围.
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