题目
题型:不详难度:来源:
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知过点的直线与该椭圆相交于A、B两点,试问:在直线上是否存在点P,使得是正三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
解析
试题分析:(1)由题意得 2分
解得
(2)讨论当直线的斜率为0时,不存在符合题意的点;
当直线的斜率不为0时,设直线的方程为,
代入,整理得,
设,,应用韦达定理得到,,
设存在符合题意的点,
从而弦长
,
设线段的中点,则,
所以,
根据是正三角形,得到,且,
由得,
得到,
由得关于的方程,
解得..
(1)由题意得 2分
解得 4分
所以椭圆的方程为. 5分
(2)当直线的斜率为0时,不存在符合题意的点; 6分
当直线的斜率不为0时,设直线的方程为,
代入,整理得,
设,,则,,
设存在符合题意的点,
则
, 8分
设线段的中点,则,
所以,
因为是正三角形,所以,且, 9分
由得即,所以,
所以, 10分
由得,
解得,所以. 12分
由得,
所以,
所以存在符合题意的点. 14分
核心考点
试题【已知椭圆过点,且离心率.(1)求椭圆C的方程;(2)已知过点的直线与该椭圆相交于A、B两点,试问:在直线上是否存在点P,使得是正三角形?若存在,求出点P的坐标;】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D. |
A. | B. | C. | D. |
(1)我们知道圆具有性质:若为圆O:的弦AB的中点,则直线AB的斜率与直线OE的斜率的乘积为定值。类比圆的这个性质,写出椭圆的类似性质,并加以证明;
(2)如图(1),点B为在第一象限中的任意一点,过B作的切线,分别与x轴和y轴的正半轴交于C,D两点,求三角形OCD面积的最小值;
(3)如图(2),过椭圆上任意一点作的两条切线PM和PN,切点分别为M,N.当点P在椭圆上运动时,是否存在定圆恒与直线MN相切?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由.
图(1) 图(2)
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知过点的直线与椭圆交于,两点.
(ⅰ)若直线垂直于轴,求的大小;
(ⅱ)若直线与轴不垂直,是否存在直线使得为等腰三角形?如果存在,求出直线的方程;如果不存在,请说明理由.
A.1 | B.2 | C.4 | D.8 |
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