题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆的左右焦点分别为，点为短轴的一个端点，.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，过右焦点，且斜率为的直线与椭圆相交于两点，为椭圆的右顶点，直线分别交直线于点，线段的中点为，记直线的斜率为.
求证: 为定值.

答案

（1）；（2）详见解析

解析

试题分析：（1）由点为短轴的一个端点可知，在直角三角形中已知，从而可得。因为，所以.（2）设过点的直线方程为：，与椭圆方程联立消去整理为关于的一元二次方程，设点即为方程的两根，可得根与系数的关系。由斜率公式可分别求得直线和直线的斜率，根据点斜式可得两直线方程。直线和直线分别与直线联立，求交点。根据中点坐标公式可得点坐标。根据斜率公式求。即可证得为定值。
解：（1）由条件可知，                                     2分
故所求椭圆方程为.                                 4分
（2）设过点的直线方程为：.                     5分
由可得：           6分
因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，即恒成立.
设点，则
.                        8分
因为直线的方程为：，
直线的方程为：，                    9分
令，可得，，
所以点的坐标.                       10分
直线的斜率为


             12分

                            
所以为定值.                                    13分