题目

题型：湖北省模拟题难度：来源：

已知椭圆C ：（a＞b＞0），直线y=x+与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，F₁、F₂为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F₁PF₂的重心为G，内心为I，且IG∥F₁F₂。
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线L：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同两点A，B且线段AB的垂直平分线过定点C（，0），求实数k的取值范围。

答案

解：（1）设P（x₀，y₀），x₀±a，则G（，），
∵IG∥F₁F₂，
∴Iy=，|F₁F₂|=2c，
∴=·|F₁F₂|·|y₀|=（|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|）·||，
∴2c·3=2a+2c，
∴e==，
又∵b=，
∴b=，
∴a=2，
∴椭圆C的方程为+=1。
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
  ，消去y得（3+4k²）x²+8kmx+4m²－12=0，
∴△=（8km）²－4（3+4k²）（4m²－12）＞0，
即m²＜4k²+3，
又∵x₁+x₂=－，则y₁+y₂=，
∴线段AB的中点P的坐标为（－，）， 
又线段AB的垂直平分线l′的方程为y=（x－），  
点P在直线l′上，=（），
∴4k²+6km+3=0，
∴m=（4k²+3）， 
∴＜4k²+3，  
∴k²＞，
∴k＞或k＞，
∴k的取值范围是（－∞，）∪（，+∞）。