题目

题型：陕西省模拟题难度：来源：

中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点P（1，），
（1）求C的标准方程；
（2）直线l与C交于A、B两点，M为AB中点，且AB=2MP，请问直线l是否经过某个定点，如果经过定点，求出点的坐标；如果不过定点，请说明理由。

答案

解：（1）由，
设C的标准方程为带入（1，），
解得C的方程为；
（2）若l斜率存在，设AB坐标，
l的方程为y=kx+b代入椭圆方程整理得：，
则，
由AB=2MP得AP⊥PB，即，
则，
即，
而，
代入化简得，
或，
若，则过定点，不合题意，舍去；
若，则过定点；
若l斜率不存在，同样可以验证通过；
综上所述，l通过定点，此点坐标为。