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题目
题型:浙江省期末题难度:来源:
已知椭圆的两个焦点,过F1且与坐标轴不平行的直线l1与椭圆相交于M,N两点,如果△MNF2的周长等于8.
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若过点(1,0)的直线l与椭圆交于不同两点P、Q,试问在x轴上是否存在定点E(m,0),使恒为定值?若存在,求出E的坐标及定值;若不存在,请说明理由.
答案
解:(I)由题意知c=,4a=8,∴a=2,b=1
∴椭圆的方程为=1
(II)当直线l的斜率存在时,设其斜率为k,
则l的方程为y=k(x﹣1)
消去y得(4k2+1)x2﹣8k2x+4k2﹣4=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2
则由韦达定理得


=m2﹣m(x1+x2)+x1x2+y1y2
=m2﹣m(x1+x2)+x1x2+k2(x1﹣1)(x2﹣1)=
=
要使上式为定值须
解得
为定值
当直线l的斜率不存在时
可得
=
综上所述当时,为定值
核心考点
试题【已知椭圆的两个焦点,过F1且与坐标轴不平行的直线l1与椭圆相交于M,N两点,如果△MNF2的周长等于8.(I)求椭圆的方程;(Ⅱ)若过点(1,0)的直线l与椭圆】;主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]
举一反三
过椭圆内一点M(2,0)引椭圆的动弦AB,则弦AB的中点N的轨迹方程是(    )
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设椭圆(a>b>0)的两个焦点是F1(﹣c,0),F2(c,0)(c>0),且椭圆上存在点P使得直线PF1与直线PF2垂直.
①求椭圆离心率e的取值范围;
②若直线PF1与椭圆另一个交点为Q,当,且△PQF2的面积为12时,求椭圆方程。
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已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线于C相交于A、B两点,若.则k=[     ]
A.1
B.
C.
D.2
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设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点.
(Ⅰ)若P是该椭圆上的一个动点,求PF1●PF2的最大值和最小值;
(Ⅱ)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.
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过椭圆=1(0<b<a)中心的直线与椭圆交于A、B两点,右焦点为F2(c,0),则△ABF2的最大面积是[     ]
A.ab
B.bc
C.ac
D.b2
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