题目

题型：江苏期末题难度：来源：

已知椭圆C₁：的离心率为，一个焦点坐标为．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）点N是椭圆的左顶点，点P是椭圆C₁上不同于点N的任意一点，连接NP并延长交椭圆右准线与点T，求的取值范围；
（3）设曲线与y轴的交点为M，过M作两条互相垂直的直线与曲线C₂、椭圆C₁相交于点A、D和B、E，（如图），记△MAB、△MDE的面积分别是S₁，S₂，当时，求直线AB的方程．

答案

解：（1）∵椭圆C₁：的离心率为，
一个焦点坐标为，
∴，∴a=2，c=，b=，
∴椭圆C₁的方程为：．
（2）∵N是椭圆C₁：的左顶点，点P是椭圆C₁上不同于点N的任意一点，
∴N（﹣2，0），椭圆右准线：x=，
设P（x，y），则=，
∵﹣2≤x≤2，∴=∈[，+∞）．
故的取值范围是[，+∞）．
（3）设直线MA的斜率为k₁，则直线MA的方程为y=k₁x﹣1．
由，解得，或．
则点A的坐标为（k₁，k₁²﹣1）．
又直线MB的斜率为﹣，同理可得点B的坐标为（﹣）．
于是S₁=|MA||MB|=|k₁||﹣|=．
由，得（1+4k₁²）x²﹣8k₁x=0．
解得，或，
则点D的坐标为（，）．
又直线ME的斜率为﹣．
同理可得点E的坐标为（，）．
于是S₂=|MD||ME|=．
故=，
解得k₁²=2，或k₁²=．
又由点A，B的坐标得，k==k₁﹣．
所以k=±．
故满足条件的直线存在，且有两条，
其方程为y=x和y=﹣．