题目
题型:不详难度:来源:
(I)求椭圆C的方程;
(II)设A,B为椭圆C的长轴顶点.当|MN|取最小值时,求∠AMB的大小.
答案
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
设M(x1,y1),N(x2,y2).
若直线MN⊥x轴,则MN的方程为x=-2,代入
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
4 |
a2 |
b4 |
a2 |
∴|y1-y2|=
b2 |
a |
2b2 |
a |
若直线MN不与x轴垂直,则设MN的方程为y=k(x+2),代入
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
得
x2 |
a2 |
k2(x2+4x+4) |
b2 |
即 (a2k2+b2)x2+4a2k2x+a2(4k2-b2)=0.
△=(4a2k2)2-4(a2k2+b2)a2(4k2-b2)
=4a2b2[(a2-4)k2+b2]=4a2b4(1+k2),
∴|x1-x2|=
2ab2
| ||
a2k2+b2 |
∴|MN|=
2ab2
| ||
a2k2+b2 |
1+k2 |
=
2ab2(1+k2) |
a2k2+b2 |
=
2b2 |
a |
1+k2 | ||
k2+
|
2b2 |
a |
综上,|MN|的最小值为
2b2 |
a |
由题知
2b2 |
a |
代入a2-b2=4,得a2-3a-4=0,
解得a=-1(舍),或a=4.∴b2=12.
∴椭圆C的方程为
x2 |
16 |
y2 |
12 |
(Ⅱ)由(Ⅰ)知A(-4,0),B(4,0).
当|MN|取得最小值时,MN⊥x轴.
根据椭圆的对称性,不妨取M(-2,3),
∠AMB即直线AM到直线MB的角.
∵AM的斜率k1=
3-0 |
-2+4 |
3 |
2 |
BM的斜率k2=
3-0 |
-2-4 |
1 |
2 |
∴tan∠AMB=
k2-k1 |
1+k1k2 |
∵∠AMB∈(0,π),
∴∠AMB=π-arctan8.
核心考点
试题【已知F1(-2,0),F2(2,0)是椭圆C的两个焦点,过F1的直线与椭圆C的两个交点为M,N,且|MN|的最小值为6.(I)求椭圆C的方程;(II)设A,B为】;主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]
举一反三