已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：x3-242y-230-422 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：长春模拟难度：来源：

已知椭圆C₁、抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：

答案

核心考点

试题【已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：x3-242y-230-422】；主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]

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-2

-4

（Ⅰ）设抛物线C₂：y²=2px（p≠0），则有

=2p(x≠0)，据此验证4个点知（3，-2

）、（4，-4）在抛物线上，易求C₂：y²=4x（2分）
设C₁：

=1，a＞b＞0，把点（-2，0）（

，

）代入得：

2b2

解得

a2=4

b2=1

∴C₁方程为

+y2=1（5分）
（Ⅱ）容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；（6分）
当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F（1，0），
设其方程为y=k（x-1），与C₁的交点坐标为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由

+y2=1

y=k(x-1)

消掉y，得（1+4k²）x²-8k²x+4（k²-1）=0，（8分）
于是x1+x2=

8k2

1+4k2

，x1x2=

4(k2-1)

1+4k2

①
y₁y₂=k（x₁-1）×k（x₁-1）=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]
即y1y2=k2(

4(k2-1)

1+4k2

8k2

1+4k2

+1)=-

3k2

1+4k2

②（10分）
由

⊥

，即

•

=0，得x₁x₂+y₁y₂=0（*），
将①、②代入（*）式，得

4(k2-1)

1+4k2

3k2

1+4k2

k2-4

1+4k2

=0，解得k=±2；（11分）
所以存在直线l满足条件，且l的方程为：y=2x-2或y=-2x+2．（12分）．

已知椭圆

10-k

k-2

=1，焦点在y轴上，若焦距等于4，则实数k=______．

从椭圆

=1(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F₁，又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，|F1A|=

，求椭圆的方程．

已知椭圆短轴上的顶点与双曲线

=1的焦点重合，它的离心率为

．
（1 求该椭圆短半轴的长；
（2）求该椭圆的方程．

已知椭圆的中心在原点，一个焦点F₁（0，-2

），且离心率e满足：

，e，

成等比数列．
（1）求椭圆方程；
（2）是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线x=-

平分．若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由．

已知椭圆C以坐标轴为对称轴，以原点为对称中心，椭圆的一个焦点为（1，0），点(

，

)在椭圆上，直线l过椭圆的右焦点与椭圆交于M，N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若线段MN的垂直平分线过点(0，

)，求出直线l的方程．