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题目
题型:不详难度:来源:
已知,椭圆C以双曲线x2-
y2
3
=1
的焦点为顶点,以双曲线的顶点为焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于M、N两点(M、N不是左右顶点),且以线段MN为直径的圆过点A(2,0),求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.
答案
根据题意:双曲线x2-
y2
3
=1
的焦点坐标为(-2,0),(2,0),顶点坐标为(-1,0),(1,0)
∵椭圆C以双曲线x2-
y2
3
=1
的焦点为顶点,以双曲线的顶点为焦点.
∴椭圆的顶点为(-2,0),(2,0),焦点坐标为2,(-1,0),(1,0)
∴a=2,b=3
∴椭圆的方程是:
x2
4
+
y2
3
=1

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2) 联立y=kx+m,
x2
4
+
y2
3
=1

整理得:(3+4k2)x2+8mkx+4m2-12=0
△=64m2k2-4(4k2+3)(4m2-12)>0
解得:m2<4k2+3 ①
由韦达定理:x1+x2=-8mk/(3+4k2).x1x2=(4m2-12)/(3+4k2
所以y1y2=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=(3m2-12k2)/(3+4k2
因为以MV为直径的圆过椭圆C的右顶点A(2,0)
所以


AM


AN
=0

∴7m2+16mk+4k2=0
解得:m1=-2k/7,m2=-2k
经检验,当m=-2k/7或m=-2k时,①式均成立
而当m=-2k时,直线l:y=k(x-2),过右顶点,不合题意所以m=-2k/7,
∴直线l:y=k(x-2/7).过定点(2/7,0)
核心考点
试题【已知,椭圆C以双曲线x2-y23=1的焦点为顶点,以双曲线的顶点为焦点.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于M、N两点(M、N不是左】;主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知椭圆C的方程为:
x2
a2
+
y2
2
=1 (a>0)
,其焦点在x轴上,离心率e=


2
2

(1)求该椭圆的标准方程;
(2)设动点P(x0,y0)满足


OP
=


OM
+2


ON
,其中M,N是椭圆C上的点,直线OM与ON的斜率之积为-
1
2
,求证:x02+2
y20
为定值.
(3)在(2)的条件下,问:是否存在两个定点A,B,使得|PA|+|PB|为定值?若存在,给出证明;若不存在,请说明理由.
题型:泉州模拟难度:| 查看答案
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)过点M(0,2),离心率e=


6
3

(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过定点N(2,0)的直线l与椭圆相交于A,B两点,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l倾斜角的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为


2
2
,椭圆上任意一点到右焦点f的距离的最大值为


2
+1

(I)求椭圆的方程;
(II)已知点C(m,0)是线段OF上异于O、F的一个定点(O为坐标原点),是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点,使得|AC|=|BC|,并说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a>b>0)
的一个焦点是F(1,0),且离心率为
1
2

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设经过点F的直线交椭圆C于M,N两点,线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0,y0),求y0的取值范围.
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已知椭圆的离心率为焦点是(-3,0),(3,0),则椭圆方程为(  )
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