已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞0b＞0)的离心率为12，点F1，F2分别是椭圆C的左，右焦点，以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线 x-y+6 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：太原一模难度：来源：

已知椭圆C：

=1(a＞0b＞0)的离心率为

，点F₁，F₂分别是椭圆C的左，右焦点，以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线 x-y+

=0相切．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点F₂的直线l与椭圆C相交于点M，N两点，求使△F_l MN面积最大时直线l的方程．

答案

（I）由题意得

1+1

a2=b2+c2

，解得

a=2

c=1

，
所以椭圆C的标准方程为

=1；
（Ⅱ）由题意可设直线l的方程为x=my+1，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则点M、N的坐标是方程组

x=my+1

的两组解，
消掉x得，（3m²+4）y²+6my-9=0，所以

△＞0

y1+y2=

-6m

3m2+4

y1y2=

-9

3m2+4

，
所以S△F1MN=

|F1F2||y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

m2+1

3m2+4

m2+1

≤

=3（当且仅当m=0时取等号），
所以当m=0时，S_△ABC取最大值，此时直线l的方程为x=1．

核心考点

试题【已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞0b＞0)的离心率为12，点F1，F2分别是椭圆C的左，右焦点，以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线 x-y+6】；主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知F₁，F₂分别是椭圆C：

=1(a＞b＞0)的上、下焦点，其中F₁也是抛物线C₁：x²=4y的焦点，点M是C₁与C₂在第二象限的交点，且|MF1|=

．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）已知A（b，0），B（0，a），直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆C₁相交于点E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值．

题型：梅州一模难度：| 查看答案

已知点A、B分别是椭圆

=1(a＞b＞0)长轴的左、右端点，点C是椭圆短轴的一个端点，且离心率e=

．三角形ABC的面积为

，动直线l：y=kx+m与椭圆于M、N两点．
（I）求椭圆的方程；
（II）若椭圆上存在点P，满足

=λ

（O为坐标原点），求λ的取值范围；
（III）在（II）的条件下，当λ=

时，求△MNO面积．

题型：和平区二模难度：| 查看答案

已知△ABC中，点A、B的坐标分别为(-

，0)，B(

，0)，点C在x轴上方．
（1）若点C坐标为(

，1)，求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；
（2）过点P（m，0）作倾角为

π的直线l交（1）中曲线于M、N两点，若点Q（1，0）恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值．

题型：蚌埠二模难度：| 查看答案

已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁，F₂，离心率为

，且过点(2，

)．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F₁，F₂，且这两条直线互相垂直，求证：

|MN|

|PQ|

为定值．

题型：东城区一模难度：| 查看答案

已知直线（k+1）x-y-3-3k=0（k∈R）所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（7分）
（Ⅱ）已知圆O：x²+y²=1，直线l：mx+ny=1．试证明当点P（m，n）在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交；并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围．（8分）

题型：不详难度：| 查看答案

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