已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率22，直线l：x-y+2=0与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的离心率

，直线l：x-y+

=0与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k₁，k₂，且k₁+k₂=4，证明：直线AB过定点N（-

，-l）．

答案

（I）由已知得：

12+(-1)2

b2+c2=a2

，解得

b=1

，
故椭圆方程为：

+y2=1；
（Ⅱ）由（I）知M（0，1），设MA：y=k₁x+1，
由

+y2=1

y=k1x+1

得：(1+2k12)x2+4k1x=0，
则xA=xA+0=-

4k1

1+2k12

，所以yA=k1xA+1=

1-2k12

1+2k12

，
所以A（-

4k1

1+2k12

，

1-2k12

1+2k12

），同理可得B（-

4k2

1+2k12

，

1-2k22

1+2k22

），
所以

4k1

1+2k12

，1+

1-2k12

1+2k12

)=（

1+2k12-8k1

2(1+2k12)

，

1+2k12

），

1+2k22-8k2

2(1+2k22)

，

1+2k22

)，
所以

1+2k12-8k1

2(1+2k12)

•

1+2k22

1+2k12

•

1+2k22-8k2

2(1+2k22)

2(k12-k22)+8(k2-k1)

(1+2k12)(1+2k22)

2(k1-k2)(k1+k2-4)

(1+2k12)(1+2k22)

=0，
故

∥

，所以A、B、N三点共线，即直线AB过定点N（-

，-1）．

核心考点

试题【已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率22，直线l：x-y+2=0与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ】；主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]

举一反三

在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁为

x=acosφ

y=sinφ

（1＜a＜6，φ为参数）．在以O为原点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂的极坐标方程为ρ=6cosθ，射线为θ=α，与C₁的交点为A，与C₂除极点外的一个交点为B．当α=0时，|AB|=4．
（1）求C₁，C₂的直角坐标方程；
（2）设C₁与y轴正半轴交点为D，当a=

时，设直线BD与曲线C₁的另一个交点为E，求|BD|+|BE|．

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设直线l：y=k（x+1）（k≠0）与椭圆3x²+y²=a²（a＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．
（1）证明：a2＞

3k2

3+k2

；
（2）若

，求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程．

题型：不详难度：| 查看答案

在平面直角坐标系xOy中，已知定点A（-2，0）、B（2，0），M是动点，且直线MA与直线MB的斜率之积为-

，设动点M的轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程；
（II ）过定点T（-1，0）的动直线l与曲线C交于P，Q两点，是否存在定点S（s，0），使得

•

为定值，若存在求出s的值；若不存在请说明理由．

题型：石家庄一模难度：| 查看答案

双曲线的一个焦点与抛物线x²=8y的焦点相同，一条渐近线与x-y+3=0平行，则该双曲线的标准方程为（　　）

题型：不详难度：| 查看答案

题型：东城区一模难度：| 查看答案

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热门考点

已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁，F₂，离心率为

，过F₁的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF₂的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过原点O的两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求出这个定值．