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题目
题型:不详难度:来源:
焦点分别为F1,F2的椭圆C2
x2
a2
+
y2
b2
=1
过点M(2,1),抛物线y2=4


3x
的准线过椭圆C的左焦点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)不过M的动直线l交椭圆C于A、B两点,若


MA


MB
=0,求证:直线l恒过定点,并求出该定点的坐标.
答案
(Ⅰ)由2p=4


3
,∴p=2


3
,∴抛物线y2=4


3x
的准线方程为x=-


3

F1(-


3
,0)
F2(


3
,0)

∴椭圆方程可化为
x2
a2
+
y2
a2-3
=1
,又椭圆过点M(2,1),
4
a2
+
1
a2-3
=1
,则a4-8a2+12=0,
∵a2>3,解得:a2=6.
∴所求椭圆的方程为
x2
6
+
y2
3
=1

(Ⅱ)证明:①若直线l⊥x轴,直线l可设为x=m(m≠2),则直线l与椭圆交于
A(m,


3(1-
m2
6
)
)
B(m,-


3(1-
m2
6
)
)



MA


MB
=0
,得(m-2)2+(1-


3(1-
m2
6
)
)(1+


3(1-
m2
6
)
)=0

即3m2-8m+4=0.
解得:m=2(舍)或m=
2
3

故直线l的方程为x=
2
3

②若直线l与x轴不垂直,可设直线l的方程为y=kx+n.
直线l与椭圆
x2
6
+
y2
3
=1
交于A(x1,y1),B(x2,y2).





x2
6
+
y2
3
=1
y=kx+n
⇒(1+2k2)x2+4knx+2n2-6=0.
由△>0,得:(4kn)2-4(1+2k2)(2n2-6)>0,即6k2-n2+3>0.
由根与系数关系得:x1+x2=-
4kn
1+2k2
x1x2=
2n2-6
1+2k2



MA


MB
=0
得:(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0,
即x1x2-2(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+5=0,
又y1=kx1+n,y2=kx2+n,
(1+k2)x1x2+(kn-k-2)(x1+x2)+n2-2n+5=0
(1+k2)•
2n2-6
1+2k2
-(kn-k-2)•
4kn
1+2k2
+n2-2n+5=0

∴4k2+8kn+(3n+1)(n-1)=0,即(2k+3n+1)(2k+n-1)=0.
n=-
2
3
k-
1
3
或n=-2k+1.
n=-
2
3
k-
1
3
或n=-2k+1满足△>0.
∴直线l为y=kx-
2
3
k-
1
3
=k(x-
2
3
)-
1
3
或y=kx-2k+1=k(x-2)+1.
由于直线l不过M,∴直线y=kx-2k+1=k(x-2)+1不合题意.
∴直线l为y=k(x-
2
3
)-
1
3

综合①②,直线l为为y=k(x-
2
3
)-
1
3
x=
2
3

故直线l恒过定点(
2
3
,-
1
3
)
核心考点
试题【焦点分别为F1,F2的椭圆C2x2a2+y2b2=1过点M(2,1),抛物线y2=43x的准线过椭圆C的左焦点.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)不过M的动直线l交椭】;主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为


2
2
,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为2


2

(1)求椭圆C的方程;
(2)若过点(2,0)的直线l的与椭圆C交于A、B两点,O为坐标原点,当∠AOB为锐角时,求直线l的斜率k的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
3
=1(a>


10
)的右焦点F在圆D:(x-2)2+y2=1上,直线l:x=my+3(m≠0)交椭圆于M,N两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设点N关于x轴的对称点为N1,且直线N1M与x轴交于点P,试问△PMN的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
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已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为


3
2
,左、右端点分别为A1(-2,0),A2(2,0)
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若在椭圆上存在两点A和B关于直线y=2x+m对称,求实数m的范围.
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已知椭圆G经过点P(


3
1
2
)
,且一个焦点为(-


3
,0)
.过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A,B两点.
(Ⅰ)求椭圆G的方程;
(Ⅱ)将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率为
1
2
,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若过点P(0,m)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,且


AP
=3


PB
,求实数m的取值范围.
题型:东城区一模难度:| 查看答案
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