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题目
题型:深圳二模难度:来源:
已知M是以点C为圆心的圆(x+1)2+y2=8上的动点,定点D(1,0).点P在DM上,点N在CM上,且满足


DM
=2


DP


NP


DM
=0
.动点N的轨迹为曲线E.
(Ⅰ)求曲线E的方程;
(Ⅱ)线段AB是曲线E的长为2的动弦,O为坐标原点,求△AOB面积S的取值范围.
答案
(Ⅰ)∵


DM
=2


DP


NP


DM
=0.
∴NP为DM的垂直平分线,∴|ND|=|NM|,
又∵|CN|+|NM|=2


2
,∴|CN|+|DN|=2


2
>2.(3分)
∴动点N的轨迹是以点C(-1,0),D(1,0)为焦点的长轴为2


2
的椭圆.
∴轨迹E的方程为
x2
2
+y2
=1.(5分)
(Ⅱ)∵线段AB的长等于椭圆短轴的长,要使三点A、O、B能构成三角形,则弦AB不能与x轴垂直,故可设直线AB的方程为y=kx+b,





y=kx+b
x2
2
+y2=1

消去y,并整理,得(1+2k2)x2+4kbx+2b2-2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-
4kb
1+2k2
,x1x2=
2(b2-1)
1+2k2
(8分)
∵|AB|=2,∴


(1+k2)(x2-x1)2
=2.
∴(1+k2)[(x1+x22-4x1x2]=4,
(1+k2)[(-
4kb
1+2k2
)
2
-
8(b2-1)
1+2k2
]=4

1
1+k2
=2(1-b2)
,(11分)
∵1+k2≥1∴
1
2
b2
<1. (12分)
又点O到直线AB的距离h=
|b|


k2+1

∴S=
1
2
|AB|•h=h
∴S2=h2=2b2(1-b2)=-2(b2-
1
2
)2+
1
2
(13分)
∴0<S2
1
2
,∴0<S≤


2
2
.(14分)
核心考点
试题【已知M是以点C为圆心的圆(x+1)2+y2=8上的动点,定点D(1,0).点P在DM上,点N在CM上,且满足DM=2DP,NP•DM=0.动点N的轨迹为曲线E.】;主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x2+y2=1上.
(I)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若斜率为k的直线过点M(2,0),且与椭圆C相交于A,B两点.试探讨k为何值时,三角形OAB为直角三角形.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1   (a>b>0)
过点A(0,


2
)
且它的离心率为


3
3

(1)求椭圆C1的方程;
(2)设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点为F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直l1于点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M,求点M的轨迹C2的方程;
(3)已知动直线l过点Q(4,0),交轨迹C2于R、S两点.是否存在垂直于x轴的直线m被以RQ为直径的圆O1所截得的弦长恒为定值?如果存在,求出m的方程;如果不存在,说明理由.
题型:茂名一模难度:| 查看答案
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的焦距为4,且与椭圆x2+
y2
2
=1
有相同的离心率,斜率为k的直线l经过点M(0,1),与椭圆C交于不同两点A、B.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时,求k的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦点为F(-


2
,0)
,点F到右顶点的距离为


3
+


2

(I)求椭圆的方程;
(II)设直线l与椭圆交于A、B两点,且与圆x2+y2=
3
4
相切,求△AOB的面积为


3
2
时求直线l的斜率.
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椭圆T的中心为坐标原点O,右焦点为F(2,0),且椭圆T过点E(2,


2
).△ABC的三个顶点都在椭圆T上,设三条边的中点分别为M,N,P.
(1)求椭圆T的方程;
(2)设△ABC的三条边所在直线的斜率分别为k1,k2,k3,且ki≠0,i=1,2,3.若直线OM,ON,OP的斜率之和为0,求证:
1
k1
+
1
k2
+
1
k3
为定值.
题型:杨浦区一模难度:| 查看答案
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