题目

题型：不详难度：来源：

直线l：y=mx+1，双曲线C：3x²-y²=1，问是否存在m的值，使l与C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点．

答案

假设存在m值满足条件，
设A、B坐标分别为（x₁，y₁）（x₂，y₂），
由

y=mx+1 3x2-y2=1

得：（3-m²）x²-2mx-2=0，
则3-m²≠0，且△=4m²-4（3-m²）（-2）＞0，得m²＜6且m²≠3①，
由韦达定理有：x1+x2=

2m

3-m2

，x1x2=

-2

3-m2

，
因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，即

OA

•

OB

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，
所以x₁x₂+（mx₁+1）（mx₂+1）=0，即（1+m²）x₁x₂+m（x₁+x₂）+1=0，
所以（1+m²）•

-2

3-m2

+m•

2m

3-m2

+1=0，解得m=±1，
故存在m=1或m=-1使l与C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点．