题目

题型：不详难度：来源：

已知F₁,F₂分别是椭圆E:+y²=1的左、右焦点,F₁,F₂关于直线x+y-2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点.
(1)求圆C的方程;
(2)设过点F₂的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a,b.当ab最大时,求直线l的方程.

答案

（1）(x-2)²+(y-2)²=4  （2）x-y-2=0或x+y-2=0

解析

解:(1)由题设知,F₁,F₂的坐标分别为(-2,0),(2,0),圆C的半径为2,圆心为原点O关于直线x+y-2=0的对称点.
设圆心的坐标为(x₀,y₀),
由解得
所以圆C的方程为(x-2)²+(y-2)²=4.
(2)由题意,可设直线l的方程为x=my+2,
则圆心到直线l的距离d=.
所以b=2=.
由得(m²+5)y²+4my-1=0.
设l与E的两个交点坐标分别为(x₁,y₁),(x₂,y₂),
则y₁+y₂=-,y₁y₂=-.
于是a==
=
==.
从而ab==
=≤ 
=2.
当且仅当=,即m=±时等号成立.
故当m=±时,ab最大,此时,直线l的方程为x=y+2或x=-y+2,
即x-y-2=0或x+y-2=0.