题目

题型：辽宁模拟难度：来源：

选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l的极坐标方程为：ρ=

10

2 sin(θ- π 4 )

，点P（2cosα，2sinα+2），参数α∈[0，2π]．
（Ⅰ）求点P轨迹的直角坐标方程；
（Ⅱ）求点P到直线l距离的最大值．

答案

（Ⅰ）

x=2cosα y=2sinα+2.

且参数α∈[0，2π]，
所以点P的轨迹方程为x²+（y-2）²=4．（3分）
（Ⅱ）因为ρ=

10

2 sin(θ- π 4 )

，所以ρ

2

sin(θ-

π

4

)=10，
所以ρsinθ-ρcosθ=10，所以直线l的直角坐标方程为x-y+10=0．（6分）
法一：由（Ⅰ） 点P的轨迹方程为x²+（y-2）²=4，圆心为（0，2），半径为2.d=

|1×0-1×2+10|

12+12

=4

2

，所以点P到直线l距离的最大值4

2

+2．（10分）
法二：d=

|2cosα-2sinα-2+10|

12+12

=

2

|

2

cos(α+

π

4

)+4|，当α=

7π

4

，dmax=4

2

+2，即点P到直线l距离的最大值4

2

+2．（10分）