题目

题型：不详难度：来源：

过抛物线y²=4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点．
（1）求AB的中点C到抛物线准线的距离；
（2）求线段AB的长．

答案

（1）抛物线y²=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1，
直线AB的方程为y=x-1，
设点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
将y=x-1代入y²=4x得x²-6x+1=0．
则x₁+x₂=6，x₁•x₂=1．
故中点C的横坐标为3．
所以中点C到准线的距离为3+1=4．
（2）∵|AB|²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=（x₁-x₂）²+[（x₁-1）+（x₂-1）]²=2（x₁-x₂）²
=2[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=2（36-4）=64
∴|AB|=8．