题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分15分）
已知圆，为抛物线上的动点.
(Ⅰ) 若，求过点的圆的切线方程；
(Ⅱ) 若，求过点的圆的两切线与轴围成的三角形面积的最小值.

答案

（Ⅰ）切线方程为或．
（Ⅱ）两切线与轴围成的三角形面积的最小值为32．

解析

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用，求解切线方程以及三角形面积的求解的综合运用。
（1）因为．当点时，设切线方程为，即，利用导数的几何意义得到k的值，得到结论。
（2）设切线，即，
切线与轴交点为，圆心到切线的距离为．
表示得到三角形的面积的公式，然后结合函数求解得到最值。
解：（Ⅰ）．
当点时，设切线方程为，即．
圆心到切线的距离为，即．
所以，得或．
所以切线方程为或．………………………………………………6分
（Ⅱ）设切线，即，
切线与轴交点为，圆心到切线的距离为．
即，
化简得
设两切线斜率分别为，则，

，当且仅当时取等号．
所以两切线与轴围成的三角形面积的最小值为32．………………………………15分