题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分13分）已知圆G：x²+y²—2x—，经过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B，过椭圆外一点M（m,0）(m＞0)的倾斜角为的直线l交椭圆于C、D两点.

（Ⅰ）求椭圆方程
（Ⅱ）当右焦点在以线段CD为直径的圆E的内部，求实数m的范围

答案

（Ⅰ）椭圆方程为；（Ⅱ）实数m的取值范围为（，3）。

解析

本试题主要是考查了椭圆的方程的求解，以及圆与椭圆的位置关系的运用。
（1）因为圆G经过点F、B　　∴F（2，0），B（0，）
∴椭圆的焦半径c＝2，短半轴长b＝　　　∴a²＝b²＋o²＝6
得到椭圆的方程。
（2）设直线l的方程为y＝－　（m＞）
然后直线与椭圆方程联立，借助于韦达定理和向量的数量积得到实数m的范围。
（Ⅰ）∵圆G经过点F、B　　∴F（2，0），B（0，）
∴椭圆的焦半径c＝2，短半轴长b＝　　　∴a²＝b²＋o²＝6
故椭圆方程为…………………………4分
（Ⅱ）设直线l的方程为y＝－　（m＞）
由  2x²－2mx＋(m²－6)＝0
由△＝4m²－8（m²－6）＞0　　m²＜12  
∴－2＜m＜2………………………………………6分
又m＞     ∴＜m＜2……………………………………7分
设C(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)，则x₁＋x₂＝m，x₁x₂＝
∴y₁·y₂＝［－］［－］＝
∵　　
＝（x₁－2）（x₂－2）＋y₁y₂
＝x₁x₂－＋＋4
＝……………………………………10分
∵点F在圆E内部    ∴＜0
即＜0  0＜m＜3
又∵＜m＜2
∴实数m的取值范围为（，3）………………………………13分