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题目
题型:不详难度:来源:
已知动点M(x,y)到定点F(0,1)的距离等于它到定直线l:y+1=0的距离
(1)求点M的轨迹方程
(2)经过点F,倾斜角为30°的直线m交M的轨迹于A、B两点,求|AB|
(3)设过点G(0,4)的直线n交M的轨迹于C(x1,y1),D(x2,y2),O为坐标原点.证明:OC⊥OD.
答案
(1)点M到点F的距离是|MF|=


x2+(y-1)2
,点M到直线y+1=0的距离是d=|y+1|
根据题意,得x2+(y-1)2=(y+1)2
x2+y2-2y+1=y2+2y+1
y=
x2
4

∴点M的轨迹方程是y=
x2
4

(2)∵倾斜角为30°,∴直线m的斜率为


3
3

∵F(0,1),∴直线m的方程为:y=


3
3
x+1

与抛物线方程联立





y=
x2
4
y=


3
3
x+1

消去y可得,
x2
4
 -


3
3
x-1=0

∴x1=2


3
x2=-
2


3
3

∴y1=3或y2=
1
3

A(2


3
,3),B(-
2


3
3
1
3
)

|AB|=


(2


3
+
2


3
3
)
2
+(3-
1
3
)
2
=
16
3

(3)证明:过G(0,4)的直线为 y=kx+4
代入抛物线方程,得
x2
4
=kx+4
即x2-4kx-16=0
∵过点G(0,4)的直线n交M的轨迹于C(x1,y1),D(x2,y2),
∴x1+x2=4k,x1x2=-16
∵OC 的斜率是
y1
x1
,OD的斜率是
y2
x2

y1
x1
×
y2
x2
=
1
4
 
x21
×
1
4
x22
x1x2
x1x2
16
=-1

∴OC⊥OD
核心考点
试题【已知动点M(x,y)到定点F(0,1)的距离等于它到定直线l:y+1=0的距离(1)求点M的轨迹方程(2)经过点F,倾斜角为30°的直线m交M的轨迹于A、B两点】;主要考察你对两点间的距离等知识点的理解。[详细]
举一反三
若x2+y2=4,则


(x+3)2+(y-4)2
的最大值是______.
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点P在圆x2+y2=1上,点Q在圆(x+3)2+(y-4)2=4上,则|PQ|的最小值为(  )
A.1B.2C.3D.4
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已知实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=225,那么


x2+y2
的最小值为(  )
A.4B.1C.2D.


2
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设点P(a,b),Q(c,d)是直线y=mx+k与曲线f(x,y)相交的两点,则|PQ|等于______.
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若点(x,y)满足(x-3)2+(y-3)2=2,则


x2+y2
的最大值是______.
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