题目

题型：0123 月考题难度：来源：

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，-2），点C满足，其中m，n∈R且m-2n=1。
（1）求点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹与双曲线（a＞0，b＞0且a≠b）交于M、N两点，且以MN为直径的圆过原点，求证：为定值；
（3）在（2）的条件下，若双曲线的离心率不大于，求双曲线实轴长的取值范围。

答案

解：（1）设C（x，y），因为，
则，
∴，
∵m-2n=1，
∴x+y=1，即点C的轨迹方程为x+y-1=0。
（2）由，得，
由题意，
设，
则，
∵以MN为直径的圆过原点，
∴，即，
∴，
即，
∴为定值。
（3）
∴，

∴，
∴，即，，
∴，即双曲线实轴长的取值范围是。