题目

题型：天津模拟难度：来源：

抛物线C₁：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F₁，焦点为F₂，以F₁、F₂为焦点、离心率e=

1

2

的椭圆C₂与抛物线C₁的一个交点为P．
（1）当m=1时求椭圆的方程；
（2）在（1）的条件下，直线L经过椭圆C₂的右焦点F₂与抛物线L₁交于A₁，A₂两点．如果弦长|A₁A₂|等于△PF₁F₂的周长，求直线L的斜率；
（3）是否存在实数m，使△PF₁F₂的边长是连续的自然数．

答案

（1）m=1时，抛物线C₁：y²=4x，焦点为F₂ （1，0）． 由于椭圆离心率e=

1

2

，c=1，
故 a=2，b=

3

，故所求的椭圆方程为  

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由于△PF₁F₂周长为 2a+2c=6，故弦长|A₁A₂|=6，设直线L的斜率为k，则直线L的方程为 y-0=k（x-2），
代入抛物线C₁：y²=4x 化简得 k²x²-（4k²+4）x+4k²=0，∴x1+x2= 4+

4

k2

，x₁x₂=4，
∴|A₁A₂|=

1+k2

•

(x1+x2)2- 4x1x2

=

1+k2

 

( 4+ 4 k2 )2-4×4

=6，解得  K=±

2

．
（3）假设存在实数m，△PF₁F₂的边长是连续自然数，经分析在△PF₁F₂中|PF₁|最长，|PF₂|最短，令|F₁F₂|=2c=2m，
则|PF₁|=2m+1，|PF₂|=2m-1． 由抛物线的定义可得|PF₂|=2m-1=x_P-（-m），∴x_P=m-1．
把P(m-1，

4m(m-1)

)代入椭圆

x2

4m2

+

y2

3m2

=1，解得m=3．故存在实数m=3 满足条件．