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题目
题型:山东省期末题难度:来源:
如图,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,侧面A1ADD1⊥底面ABCD,D1A=D1D=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
(Ⅰ)求证:A1O∥平面AB1C;
(Ⅱ)求锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值.
答案
(Ⅰ)证明:如图(1),连接CO、A1O、AC、AB1,则四边形ABCO为正方形,
所以OC=AB=A1B1
所以,四边形A1B1CO为平行四边形,
所以A1O∥B1C,
又A1O平面AB1C,B1C平面AB1C
所以A1O∥平面AB1C

(Ⅱ)因为D1A=D1D,O为AD中点,所以D1O⊥AD
又侧面A1ADD1⊥底面ABCD,
所以D1O⊥底面ABCD,
以O为原点,OC、OD、OD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图(2)所示的坐标系,
则C(1,0,0),D(0,1,0),D1(0,0,1),A(0,﹣1,0)
所以,设为平面C1CDD1的一个法向量,
,得
令z=1,则y=1,x=1,∴
又设为平面AC1D1的一个法向量,
,得,令z1=1,则y1=﹣1,x1=﹣1,∴,则
故所求锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值为


核心考点
试题【如图,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,侧面A1ADD1⊥底面ABCD,D1A=D1D=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=】;主要考察你对二面角等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直.点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM=BN=a(0<a<
(1)求MN的长;
(2)a为何值时,MN的长最小;
(3)当MN的长最小时,求面MNA与面MNB所成二面角α的大小.
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如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点 E 在线段 PC 上,PC⊥平面BDE。
(1)证明:BD⊥平面PAC;
(2)若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A的正切值
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如图,在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,已知DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC.
(I)设E是DC的中点,求证:D1E∥平面A1BD;
(II)求二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值.
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如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AC=BC=3,D为AB的中点。
(1)求点C到平面A1ABB1的距离;
(2)若AB1⊥A1C,求二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值。
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如图,在正三棱柱ABC﹣中,点D是棱AB的中点,BC=1,A=
(1)求证:B∥平面DC;
(2)求二面角D﹣C﹣A的大小.
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