题目

题型：黄埔区一模难度：来源：

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是面积为2

3

的菱形，∠ABC=60°，E、F分别为CC₁、BB₁上的点，且BC=EC=2FB．
（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）求平面AEF与平面ABCD所成角．

答案

证明：（Ⅰ） 

BD⊥AC BD⊥CC1

⇒BD⊥平面ACC₁A     ①
设AC∩BD=O，AE的中点为M，连OM，则OM=

1

2

EC=FB
∴FB∥CE∥OM
∴BOMF为平行四边形
∴FM∥BO即FM∥BD
由①，知

FM⊥平面ACC1A1 FM⊂平面AEF

⇒面AEF⊥面ACC₁A₁
（Ⅱ）∵AC⊥BD，平面AEF∩平面ABCD=l，l过A且l∥BD
∴AC⊥l，又BD⊥平面ACC₁A₁
∴l⊥平面ACC₁A₁，
∴l⊥AE
∴∠EAC为所求二面角的平面角θ．
∵∠ABC=60°，
∴AC=BC=CE
由CC₁⊥AC
故△ECA为Rt△，即△ECA为等腰直角三角形
故∠EAC=θ=45°