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题目
题型:不详难度:来源:
如图,已知直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AD⊥BD,AD=BD=a,E是CC1的中点,A1D⊥BE.
(Ⅰ)求证:A1D⊥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角B-DE-C的大小;
(Ⅲ)求点B到平面A1DE的距离.魔方格
答案
(Ⅰ)证明:∵直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥面ABCD
又∵AD⊥BD,∴A1D⊥BD.…(2分)
又A1D⊥BE,∴A1D⊥平面BDE.…(3分)
(Ⅱ)连B1C.∵A1B1CD,∴B1CA1D.∵A1D⊥BE,∴B1C⊥BE,
∴∠BB1C=∠CBE,∴Rt△BB1CRt△CBE,
BC
BB1
=
CE
BC
.∵CE=
1
2
BB1,BC=AD=a
,∴
1
2
B
B21
=BC2=a2
,∴BB1=


2
a
.…(5分)
取CD中点M,连BM.∵CD=


2
a
,∴BM=


2
2
a

过M作MN⊥DE于N,连BN.∵平面CD1⊥平面BD,BM⊥CD,∴BM⊥平面CD1
∴BN⊥DE,∴∠BNM就是二面角B-DE-C的平面角.…(7分)∵sin∠MDN=
MN
DM
=
CE
DE
,DE=


CE2+CD2
=


(


2
2
a)
2
+(


2
a)
2
=


5
2
a

MN=
a


10
.在Rt△BMN中,tan∠BNM=
BM
MN
=


5
,∴∠BNM=arctan


5

即二面角B-DE-C等于arctan


5
.…(9分)
(Ⅲ)∵A1D⊥平面BDE,BN⊂平面BDE,∴A1D⊥BN.…(10分)
又∵BN⊥DE,∴BN⊥平面A1DE,即BN的长就是点B到平面A1DE的距离.…(11分)
BM=


2
2
a,MN=
a


10
,∴BN=


BM2+MN2
=


15
5
a

即点B到平面A1DE的距离为


15
5
a
.…(12分)
核心考点
试题【如图,已知直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AD⊥BD,AD=BD=a,E是CC1的中点,A1D⊥BE.(Ⅰ)求证:A1D⊥平面BDE;(Ⅱ)求二面角B】;主要考察你对二面角等知识点的理解。[详细]
举一反三
在棱长为a的正方体OABC-O′A′B′C′中,E、F分别是棱AB、BC上的动点,且AE=BF.
(Ⅰ)求证:A′F⊥C′E;
(Ⅱ)当三棱锥B′-BEF的体积取得最大值时,求二面角B′-EF-B的大小.(结果用反三角函数表示)魔方格
题型:上海难度:| 查看答案
如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.
(Ⅰ)求证:PC⊥AB;
(Ⅱ)求二面角B-AP-C的大小;
(Ⅲ)求点C到平面APB的距离.魔方格
题型:北京难度:| 查看答案
△ABC为正三角形,P是△ABC所在平面外一点,且PA=PB=PC,△APB与△ABC的面积之比为2:3,则二面角P-AB-C的大小为______.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC,D、E分别为BB1、AC1的中点.
(I)证明:ED为异面直线BB1与AC1的公垂线;
(II)设AA1=AC=


2
AB
,求二面角A1-AD-C1的大小.魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
如图,在直角梯形ABCD中,ABCD,AB⊥AD,且AD=1,AB=2,CD=3,E、F分别为线段CD、AB上的点,且EFAD.将梯形沿EF折起,使得平面ADEF⊥平面BCEF,折后BD与平面ADEF所成角正切值为


2
2

(Ⅰ)求证:BC⊥平面BDE;
(Ⅱ)求平面BCEF与平面ABD所成二面角(锐角)的大小.

魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
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