题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)证明:A1C⊥平面BED;
(Ⅱ)求二面角A1-DE-B的大小.
答案
解法一:
依题设知AB=2,CE=1.
(Ⅰ)连接AC交BD于点F,则BD⊥AC.
由三垂线定理知,BD⊥A1C.(3分)
在平面A1CA内,连接EF交A1C于点G,
由于
AA1 |
FC |
AC |
CE |
2 |
故Rt△A1AC∽Rt△FCE,∠AA1C=∠CFE,∠CFE与∠FCA1互余.
于是A1C⊥EF.A1C与平面BED内两条相交直线BD,EF都垂直,
所以A1C⊥平面BED.(6分)
(Ⅱ)作GH⊥DE,垂足为H,连接A1H.由三垂线定理知A1H⊥DE,
故∠A1HG是二面角A1-DE-B的平面角.(8分)
EF=
CF2+CE2 |
3 |
CE×CF |
EF |
| ||
|
CE2-CG2 |
| ||
3 |
EG |
EF |
1 |
3 |
1 |
3 |
EF×FD |
DE |
| ||
|
又A1C=
A
|
6 |
5
| ||
3 |
A1G |
HG |
5 |
所以二面角A1-DE-B的大小为arctan5
5 |
解法二:
以D为坐标原点,射线DA为x轴的正半轴,
建立如图所示直角坐标系D-xyz.
依题设,B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,2,1),A1(2,0,4).
DE |
DB |
A1C |
DA1 |
(Ⅰ)因为
A1C |
DB |
A1C |
DE |
故A1C⊥BD,A1C⊥DE.
又DB∩DE=D,
所以A1C⊥平面DBE.(6分)
(Ⅱ)设向量
n |
DE |
DA1 |
故2y+z=0,2x+4z=0.
令y=1,则z=-2,x=4,
n |
n |
A1C |
n |
A1C |
| ||||
|
|
| ||
42 |
所以二面角A1-DE-B的大小为arccos
| ||
42 |
核心考点
试题【如图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,点E在CC1上且C1E=3EC.(Ⅰ)证明:A1C⊥平面BED;(Ⅱ)求二面角A1-DE-B的大】;主要考察你对二面角等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)由SA的中点E作底面的垂线EH,试确定垂足H的位置;
(2)求二面角E-BC-A的大小.
A.1 | B.
| C.
| D.1或
|
3 |
(1)证明:AB⊥A1C;
(2)求二面角A-A1C-B的余弦值.
(Ⅰ)当PD∥平面EAC时,确定点E在棱PB上的位置;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求二面角A-CE-P余弦值.
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