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题目
题型:不详难度:来源:
已知在三棱锥S-ABC中,底面是边长为4的正三角形,侧面SAC⊥底面ABC,M,N分别是AB,SB的中点,SA=SC=2


3

(1)求证AC⊥SB
(2)求二面角N-CM-B的大小
(3)求点B到面CMN的距离.
答案
(1)取AC中点D,连接SD、DB.
∵SA=SC,AB=BC,
∴AC⊥SD且AC⊥BD,
∵SD∩BD=D
∴AC⊥平面SDB,
又SB⊂平面SDB,
∴AC⊥SB.
(2)∵AC⊥平面SDB,AC⊂平面ABC,
∴平面SDB⊥平面ABC.
过N作NE⊥BD于E,NE⊥平面ABC,
过E作EF⊥CM于F,连接NF,
则NF⊥CM.
∴∠NFE为二面角N-CM-B的平面角.
∵平面SAC⊥平面ABC,SD⊥AC,∴SD⊥平面ABC.
又∵NE⊥平面ABC,∴NESD.
∵SN=NB,∴NE=
1
2
SD=
1
2


SA2-AD2
=
1
2


12-4
=


2
,且ED=EB.
在正△ABC中,由平几知识可求得EF=
1
4
MB=
1
2

在Rt△NEF中,tan∠NFE=
EN
EF
=2


2

∴二面角N-CM-B的大小是arctan2


2

(3)在Rt△NEF中,NF=


EF2+EN2
=
3
2

∴S△CMN=
1
2
CM•NF=
3
2


3
,S△CMB=
1
2
BM•CM=2


3

设点B到平面CMN的距离为h,
∵VB-CMN=VN-CMB,NE⊥平面CMB,
1
3
S△CMN•h=
1
3
S△CMB•NE,
∴h=
S△CMB•NE
S△CMN
=
4
3


2
.即点B到平面CMN的距离为
4
3


2

核心考点
试题【已知在三棱锥S-ABC中,底面是边长为4的正三角形,侧面SAC⊥底面ABC,M,N分别是AB,SB的中点,SA=SC=23:(1)求证AC⊥SB(2)求二面角N】;主要考察你对二面角等知识点的理解。[详细]
举一反三
正三棱锥的相邻两侧面所成的角为α,则α的取值范围(  )
A.(
π
2
,π)
B.(
π
3
,π)
C.(
π
4
π
3
D.(
π
3
π
2
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如图,梯形ABCD中,ADBC,∠ABC=
π
2
,AB=a,AD=3a,∠ADC=arcsin


5
5
,PA⊥面ABCD,PA=a.求:
(1)二面角P-CD-A的大小(用反三角函数表示);
(2)点A到平面PBC的距离.
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如图:正△ABC与Rt△BCD所在平面互相垂直,且∠BCD=90°,∠CBD=30°.
(1)求证:AB⊥CD;
(2)求二面角D-AB-C的正切值.
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在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=2,AA1=2


2
,∠ACB=90°,M是AA1的中点,N是BC1的中点
(1)求证:MN平面A1B1C1
(2)求点C1到平面BMC的距离;
(3)求二面角B-C1M-A1的平面角的余弦值大小.
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如图所示,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°,AB=2,△PCB为正三角形,且平面PCB⊥平面ABCD,M,N分别为BC,PD的中点.
(1)求证:MN面APB;
(2)求二面角B-NC-P的余弦值;
(3)求四棱锥P-ABCD被截面MNC分成的上下两部分体积之比.
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