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题目
题型:不详难度:来源:
在三棱锥S-ABC中,如图,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,AC=2,
BC=


13
,SB=


29

(1)证明:SC⊥BC;
(2)求侧面SBC与底面ABC所成的二面角大小;
(3)(理)求异面直线SC与AB所成的角的大小(用反三角函数表示).
(文)求三棱锥的体积VS-ABC
答案
(1)证明:如图,
∵∠SAB=∠SAC=90°
∴SA⊥底面ACB
又∵BC⊂底面ACB
∴SA⊥BC
又∵∠ACB=90°
∴AC⊥BC
又∵SA∩AC=A
∴BC⊥面ASC
又∵SC⊂面ASC
∴SC⊥BC
(2)∵∠ACB=90°
∴AC⊥BC
又∵SC⊥BC
∴∠SCA即为侧面SBC与底面ABC所成的二面角的平面角
在Rt△ACB中,AC=2,BC=


13
,∴AB=


17

在Rt△SAB中,AB=


17
,SB=


29
,∴SA=2


3

在Rt△SAC中,SA=2


3
,AC=2,∴∠SCA=60°,
即侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小为60°
(3)
(理)分别取AC、SB、CB、SC的中点D、E、F、M,连接DE、EF、DF、ME、MD,则:MECB,EFSC,DFAB,
所以异面直线SC与AB所成的角的大小即为∠EFD的大小.
∵MECB,BC⊥面ASC
∴ME⊥面ASC
∴ME⊥MD,又ME=


13
2
,MD=


3
,则ED=
5
2

又∵EF=2,DF=


17
2

∴cos∠EFD=
EF2+DF2-ED2
2EF•DF
=


17
17

∴异面直线SC与AB所成的角的大小为arccos


17
17

(文)∵S△ACB=
1
2
AC•BC=


13
SA=2


3

∴VS-ABC=
1
3


13
•2


3
=
2


39
3
核心考点
试题【在三棱锥S-ABC中,如图,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,AC=2,BC=13,SB=29.(1)证明:SC⊥BC;(2)求侧面SBC与底面ABC所成的】;主要考察你对二面角等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,AD=2,AB=1,∠ABC=60°,PA⊥面ABCD,设E为PC中点,点F在线段PD上且PF=2FD.
(Ⅰ)求证:BE平面ACF;
(Ⅱ)设二面角A-CF-D的大小为θ,若|cosθ|=


42
14
,求PA的长.
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直二面角α-l-β的棱l上有一点A,在平面α,β内各有一条射线AB,AC与l成45°,AB⊂α,AC⊂β,则∠BAC=______.
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如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O是BD中点.
(Ⅰ)求证:平面BDD1B1⊥平面C1OC;
(Ⅱ)求二面角C1-BD-C的正切值.
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在三棱锥S-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=


2
,SA=SC=2,二面角S-AC-B的余弦值是


3
3
,若S、A、B、C都在同一球面上,则该球的表面积是______.
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如图,P是二面角α-AB-β棱AB上的一点,分别在α,β上引射线PM,PN,如果∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,那么二面角α-AB-β的大小是 ______.
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