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题目
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如图,已知PO⊥平面ABCD,点O在AB上,EAPO,四边形ABCD是直角梯形,ABDC,且BC⊥AB,BC=CD=BO=PO,EA=AO=
1
2
CD

(Ⅰ)求证:PE⊥平面PBC;
(Ⅱ)求二面角C-PB-D的大小;
(Ⅲ)在线段PE上是否存在一点M,使DM平面PBC,若存在求出点M;若不存在,说明理由.
答案
证明:(Ⅰ)连接DO,BOCD且BO=CD,则四边形BODC是平行四边形,
故BCOD,又BC⊥AB,则BO⊥OD,因为PO⊥平面ABCD,
可知OD、OB、OP两两垂直,分别以OD、OB、OP为x、y、z轴建立空间直角坐标系.
设AO=1,则B(0,2,0),C(2,2,0),D(2,0,0),E(0,-1,1),P(0,0,2),


PE
=(0,-1,-1)


PB
=(0,2,-2)


BC
=(2,0,0)



PE


PB
=0


PE


BC
=0
,故PE⊥PB,PE⊥BC,又PB∩BC=B,
∴PE⊥平面PBC.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,平面PBC的一个法向量


n1
=


PE
=(0,-1,-1)
,设面PBD的一个法向量为


n2
=(x,y,z)


PB
=(0,2,-2)


BD
=(2,-2,0)








n2


PB
=0


n2


BD
=0





2y-2z=0
2x-2y=0


n2
=(1,1,1)

cos<


n1


n2
>=


n1


n2
|


n1
|•|


n2
|
=
-2


2


3
=-


6
3

故二面角C-PB-D的大小为arccos


6
3

(Ⅲ)存在满足条件的点M.
由(Ⅰ)可知,向量


PE
是平面PBC的一个法向量,
若在线段PE上存在一点M,使DM平面PBC,设


PM


PE



DM
=


DP
+


PM
=(-2,0,2)+λ(0,-1,-1)=(-2,-λ,2-λ)
,由


DM


PE
=0

得λ-(2-λ)=0,∴λ=1,即M点与线段PE的端点E重合.
核心考点
试题【如图,已知PO⊥平面ABCD,点O在AB上,EA∥PO,四边形ABCD是直角梯形,AB∥DC,且BC⊥AB,BC=CD=BO=PO,EA=AO=12CD.(Ⅰ)】;主要考察你对二面角等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,在三棱锥P-ABC中,底面△ABC为等边三角形,∠APC=90°,AC=2PA=4,且平面PAC⊥平面ABC.
(1)求三棱锥P-ABC的体积;
(2)求二面角B-AP-C的余弦值;
(3)判断在线段AC上是否存在点Q,使得△PQB为直角三角形?若存在,找出所有符合要求的点Q,并求
AQ
QC
的值;若不存在,说明理由.
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在直角梯形ABCD中,∠D=∠BAD=90°,AD=DC=
1
2
AB=1,将△ADC沿AC折起,使D到D′.若二面角D′-AC-B为60°,则三棱锥D′-ABC的体积为______.
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如图,正方体AC1
(1)在BD上确定一点E,使D1E面A1C1B;
(2)求直线BB1和面A1C1B所成角的正弦值;
(3)求面A1C1B与底面ABCD所成二面角的平面角的正弦值.
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E是二面角α---l---β的棱上一点,EF⊂β,EF与l成45°角,与α成30°角,则该二面角的大小为(  )
A.45°B.30°C.60°D.90°
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一个四棱锥的三视图如图所示.

(1)求这个四棱锥的全面积及体积;
(2)求证:PA⊥BD;
(3)在线段PD上是否存在一点Q,使二面角Q-AC-D的平面角为30°?若存在,求
|DQ|
|DP|
的值;若不存在,说明理由.
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