题目

题型：不详难度：来源：

如图，△ABC是等腰直角三角形∠ACB=90°，AC=2a，D，E分别为AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥A′-BCDE
（Ⅰ）在棱A′B上找一点F，使EF∥平面A′CD；
（Ⅱ）当四棱锥A"-BCDE体积取最大值时，求平面A′CD与平面A′BE夹角的余弦值．

答案

（I）当F为棱A"B的中点时，EF∥平面A′CD．证明如下：
取A"C的中点G，连结DG、EF、GF，则
由中位线定理得DE∥BC、DE=

1

2

BC，且F∥BC、GF=

1

2

BC．
∴DE∥GF且DE=GF，可得四边形DEFG是平行四边形，
∴EF∥DG
∵EF⊄平面A"CD，DG⊂平面A"CD，∴EF∥平面A′CD
因此，当F为棱A"B的中点时，EF∥平面A′CD．----（4分）
（II）在平面A′CD内作A"H⊥CD于点H，
∵DE⊥A"D，DE⊥CD，且A"D∩CD=D
∴DE⊥平面A"CD，可得A"H⊥DE，
又∵DE∩CD=D，∴A"H⊥底面BCDE，即A"H就是四棱锥A"-BCDE的高．
由A"H≤AD，得点H和D重合时，四棱锥A"-BCDE体积取最大值．--（8分）
分别以DC、DE、DA"所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，
则A"（0，0，a），B（a，2a，0），E（0，a，0），
∴

A′B

=（a，2a，-a），

A′E

=（0，a，-a），
设平面A"BE的一个法向量为

m

=（x，y，z），
由

m • A′B =ax+2ay-az=0 m • A′E =ay-az=0

得

x+2y-z=0 y=z

取y=1，得x=-1，z=1．得到

m

=（-，1，1），
同理，可求得平面A"CD的一个法向量

n

=（0，1，0）
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

|m| • |n|

=

-1×0+1×1+1×0

3 ×1

=

3

3

故平面A"CD与平面A"BE夹角的余弦值为

3

3

综上所述，四棱锥A"-BCDE体积取最大值时，平面A′CD与平面A′BE夹角的余弦值等于

3

3

----（12分）