题目

题型：0103 期末题难度：来源：

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中， P是侧棱CC₁上的一点，CP=m。
（1） 试确定m，使得直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为；
（2） 在线段A₁C₁上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP。并证明你的结论。

答案

解：（1）连AC，设AC与BD相交于点O，AP与平面BDD₁B₁相交于点G，
连结OG，因为 PC∥平面，平面BDD₁B₁∩平面APC=OG，
 故OG∥PC，所以，OG=PC=，
 又AO⊥BD，AO⊥BB₁，
所以AO⊥平面，
故∠AGO是AP与平面所成的角。
在Rt△AOG中，tan∠AGO=，
即m=，
所以当m=时，直线AP与平面所成的角的正切值为。 （2）可以推测，点Q应当是A₁C₁的中点O₁，
因为 D₁O₁⊥A₁C₁，且 D₁O₁⊥A₁A ，
所以 D₁O₁⊥平面ACC₁A₁，
又AP平面ACC₁A₁，
故 D₁O₁⊥AP，
那么根据三垂线定理知，D₁O₁在平面APD₁的射影与AP垂直。