题目

题型：安徽省模拟题难度：来源：

如图，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，MA∥PB，PB=AB=2MA=2。
(Ⅰ)P，C，D，M四点是否在同一平面内，为什么？
(Ⅱ)求证：面PBD⊥面PAC；
(Ⅲ)求直线BD和平面PMD所成角的正弦值．

答案

解：(Ⅰ)P，C，D，M四点不在同一平面内，
反证法：假设P，C，D，M四点在同一平面内．
∵DC∥AB，
∴DC∥面ABPM，
∵面DCPM∩面ABPM=PM，
∴DC∥PM，
又DC∥AB，
∴AB∥MP，这显然不成立，
∴假设不成立，即P，C，D，M四点不在同一平面内。
(Ⅱ)∵MA∥PB，MA⊥平面ABCD，
∴PB⊥平面ABCD，
∴PB⊥AC，
又由AC⊥BD，
∴AC⊥面PBD，
∵AC面PAC，
∴面PBD⊥面PAC。(Ⅲ)如图，分别以BA，BC，BP为x，y，z轴， B为原点，
建立空间直角坐标系，
则，
，
设面PMD的法向量为，
则，
令x=1，得，
，
直线BD和平面PMD所成的角与互余，
所以，直线BD和平面PMD所成的角的正弦值为。