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题目
题型:吉林省模拟题难度:来源:
已知函数,g(x)=lnx+2x。
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)试问过点(2,5)可作多少条直线与曲线y= g(x)相切?请说明理由。
答案
解:(1)∵函数的定义域为(0,+∞),
∴f"(x)
(i)当a≤0时,f"(x)>0,
∴f(x)的增区间为(0,+∞),
(ii)当a>0时,令f"(x)>0,解得x>a,
∴f(x)的增区间为(a,+∞),
令f"(x)<0,解得0<x<a,
∴f(x)的减区间为(0,a)。
(2)g(x)=2x+lnx(x>0),
设过点(2,5)的直线与曲线g(x)相切的切点坐标为(x0,y0
∴y0-5=g"(x0)(x0-2),



由(1)知当a=2时,h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,
,h(2)=ln2-1<0,
∴h(x)与x轴有两个交点,
∴过点(2,5)可作2条曲线y=g(x)的切线。
核心考点
试题【已知函数,g(x)=lnx+2x。(1)求函数f(x)的单调区间;(2)试问过点(2,5)可作多少条直线与曲线y= g(x)相切?请说明理由。】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=ax3+bx2+c(a,b,c∈R,a≠0)的图象过点P(-1,2),且在点P 处的切线与直线x-3y=0垂直。
(1)若c=0,试求函数f(x)的单调区间;
(2)若a>0,b>0且(-∞,m),(n,+∞)是f(x)的单调递增区间,试求n-m-2c的范围。
题型:安徽省模拟题难度:| 查看答案
已知曲线y=xlnx(x>)在点(t,tlnt)处的切线l交x轴于点A,交y轴于点B,△AOB(O为坐标原点)的面积为S,
(Ⅰ)试写出S关于t的函数关系式;
(Ⅱ)求面积S的最小值;
(Ⅲ)若对于t>恒成立,求实数a的取值范围。
题型:河南省模拟题难度:| 查看答案

已知函数f(x)=-2x2+lnx,其中a为常数,e为自然对数的底数,
(Ⅰ)若a=1,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,求a的取值范围。

题型:河南省模拟题难度:| 查看答案
已知函数f(x)=lnx+x2
(1)若函数g(x)=f(x)-ax在其定义域内为增函数,求实数a的取值范围;
(2)在(1)的条件下,若a>1,h(x)=x3-3ax,x∈[1,2],求h(x)的极小值;
(3)设F(x)=2f(x)-3x2-kx(k∈R),若函数F(x)存在两个零点,m,n(0<m<n),且2x0=m+n,证明:函数F(x)在点(x0,F(x0))处的切线不可能平行于x轴。
题型:山东省模拟题难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x|x2-3|,x∈[0,m],其中m∈R,且m>0,
(Ⅰ)若m<1,求证:函数f(x)是增函数;
(Ⅱ)如果函数f(x)的值域是[0,2],试求m的取值范围;
(Ⅲ)如果函数f(x)的值域是[0,λm2],试求实数λ的最小值。
题型:江苏模拟题难度:| 查看答案
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