题目

题型：湖南省高考真题难度：来源：

如图1，E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD的中点，G是EF上的一点。将△GAB、△GCB分别沿AB、CD翻折成△G₁AB、△G₂CD，并连结G₁G₂，使得平面G₁AB⊥平面ABCD，G₁G₂∥AD，且G₁G₂＜AD，连结BG₂，如图2，
（Ⅰ）证明平面G₁AB⊥平面G₁ADG₂；
（Ⅱ）当AB=12，BC=25，EG=8时，求直线BG₂和平面G₁ADG₂所成的角。

答案

（Ⅰ）证明：因为平面G₁AB⊥平面ABCD，
平面G₁AB∩平面ABCD=AB，
AD⊥AB，AD平面ABCD，
所以AD⊥平面G₁AB，
又AD平面G₁ADG₂，
所以平面G₁AB⊥平面G₁ADG₂。 （Ⅱ）解：过点B作BH⊥AG₁于点H，连结G₂H，
由（Ⅰ）的结论可知，BH⊥平面G₁ADG₂，
所以∠BG₁H是BG₂和平面G₁ADG₂所成的角，
因为平面G₁AB⊥平面ABCD，平面G₁AB∩平面ABCD=AB，
G₁E=AB，G₁E平面G₁AB，
所以G₁E⊥平面ABCD，
故G₁E⊥EF，
因为G₁G₂＜AD，AD=EF，
所以可在EF上取一点O，使EO=G₁G₂，
又因为G₁G₂∥AD∥EO，
所以四边形G₁EOG₂是矩形，
由题设AB=12，BC=25，EG=8，则GF=17，
所以G₂O=G₁E=8，G₂F=17，
OF=，
因为AD⊥平面G₁AB，G₁G₂∥AD，
所以G₁G₂⊥平面G₁AB，
从而G₁G₂⊥G₁B，
故BG=BE²+EG+G₁G=6²+8²+10²=200，
BG₂=，
又AG₁=，
由，
故，
即直线BG₂与平面G₁ADG₂所成的角是。