题目

题型：河北省期末题难度：来源：

已知点E、F、G分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AA₁、BC、AB的中点，
（1）求直线EF和平面ABCD所成角的正切值；
（2）求证：DG⊥EF；
（3）在棱B₁C₁上求一点M，使得DG⊥平面EFM。

答案

（1）解：在正方体AC₁中，
∵AA₁⊥AD，AA₁⊥AB，
∴AA₁⊥平面ABCD，连结AF，
则∠EFA就是EF与平面ABCD所成的角，
设正方体棱长为a，
∵点F是BC的中点，
∴AF=，
而AE=，
则在Rt△EAF中，tan∠EAF=为所求。
（2）证明：在正方形ABCD中，
∵G是AB的中点，F是BC的中点，
∴DG⊥AF，
∵EA⊥平面ABCD，由三垂线定理，
∴DG⊥EF；
（3）解：当点M在棱B₁C₁的中点时，DG⊥平面EFM；
证明如下：连结MF、EM，
∵F是BC的中点，
∴MF∥BB₁，
∵BB₁∥AA₁，
∴MF∥AA₁，
∵AA₁⊥平面ABCD，
∴MF⊥平面ABCD，
∴MF⊥DG，
∵DG⊥EF，
∴DG⊥平面EFM。