题目
题型:佛山一模难度:来源:
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(Ⅰ)证明:PD⊥平面PBC;
(Ⅱ)求PA与平面ABCD所成的角的正切值;
(Ⅲ)若AA1=a,当a为何值时,PC∥平面AB1D.
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答案
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方法一:(Ⅰ)证明:因为PD=PC=
2 |
所以△PCD为等腰直角三角形,所以PD⊥PC. …(1分)
因为ABCD-A1B1C1D1是一个长方体,所以BC⊥面CC1D1D,
而P∈平面CC1D1D,所以PD⊂面CC1D1D,所以BC⊥PD. (3分)
因为PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC,
所以由线面垂直的判定定理,可得PD⊥平面PBC.…(4分)
(Ⅱ)过P点在平面CC1D1D作PE⊥CD于E,连接AE.…(5分)
因为面ABCD⊥面PCD,所以PE⊥面ABCD,
所以∠PAE就是PA与平面ABCD所成的角.…(6分)
因为PE=1,AE=
10 |
PE |
AE |
1 | ||
|
| ||
10 |
所以PA与平面ABCD所成的角的正切值为
| ||
10 |
(Ⅲ)当a=2时,PC∥平面AB1D.…(9分)
当a=2时,四边形CC1D1D是一个正方形,所以∠C1DC=45°,
而∠PDC=45°,所以∠PDC1=90°,所以C1D⊥PD.…(10分)
而PC⊥PD,C1D与PC在同一个平面内,所以PC∥C1D.…(11分)
而C1D⊂面AB1C1D,所以PC∥面AB1C1D,所以PC∥平面AB1D. …(12分)
方法二:(Ⅰ)证明:如图建立空间直角坐标系,设棱长AA1=a,则有D(0,0,a),P(0,1,a+1),B(3,2,a),C(0,2,a). …(2分)
于是
PD |
PB |
PC |
PD |
PB |
PD |
PC |
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所以PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC,由线面垂直的判定定理,可得PD⊥平面PBC. …(4分)
(Ⅱ)A(3,0,a),所以
PA |
n1 |
所以cos<
PD |
n1 |
-1 | ||
|
| ||
11 |
所以PA与平面ABCD所成的角的正弦值为
| ||
11 |
所以PA与平面ABCD所成的角的正切值为
| ||
10 |
(Ⅲ)B1=(3,2,0),所以
DA |
AB1 |
设平面AB1D的法向量为
n2 |
|
令z=2,可得平面AB1D的一个法向量为
n2 |
若要使得PC∥平面AB1D,则要
PC |
n2 |
PC |
n2 |
所以当a=2时,PC∥平面AB1D. …(12分)
核心考点
试题【如图,在组合体中,ABCD-A1B1C1D1是一个长方体,P-ABCD是一个四棱锥.AB=2,BC=3,点P∈平面CC1D1D且PD=PC=2.(Ⅰ)证明:PD】;主要考察你对线面角等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求证A1C⊥平面EBD;
(2)求点A到平面A1B1C的距离;
(3)求平面A1B1C与平面BDE所成角的度数;
(4)求ED与平面A1B1C1所成角的大小.
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(1)求DF与平面ABCD成角的正切值;
(2)求证:EF⊥平面A1D1B.
A.30° | B.45° | C.60° | D.90° |
3 |
(1)求证:BC"⊥面ADC";
(2)求二面角A-BC"-D的大小;
(3)求直线AB和平面BC"D所成的角.
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3 |
(1)求证:BC"⊥面ADC";
(2)求二面角A-BC"-D的正弦值;
(3)求直线AB和平面BC"D所成的角的正弦值.
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