题目

题型：不详难度：来源：

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，PA⊥AB，PA=AB，∠ABC=

π

3

，∠BCA=

π

2

，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC，
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值．

答案

（解法一）：（1）∵PA⊥AC，PA⊥AB，AC∩AB=A，
∴PA⊥底面ABC，
∴PA⊥BC．又∠BCA=90°，
∴AC⊥BC．
∴BC⊥平面PAC．（4分）
（2）∵D为PB的中点，DE∥BC，
∴DE=

1

2

BC，
又由（1）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E．
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP为等腰直角三角形，
∴AD=

1

2

AB，
∴在Rt△ABC中，∠ABC=60°，
∴BC=

1

2

AB．
∴在Rt△ADE中，sin∠DAE=

DE

AD

=

BC

2AD

=

2

4

，
∴AD与平面PAC所成的角的正弦值是

2

4

．（12分）
（解法二）：如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，设PA=a，
由已知可得P（0，0，a），A（0，0，0），B(-

1

2

a，

3

2

a，0)，C(0，

3

2

a，0)．
（1）∵

AP

=(0，0，a)，

BC

=(

1

2

a，0，0)，
∴

AP

•

BC

=0，
∴BC⊥AP．
又∵∠BCA=90°，
∴BC⊥AC，
∴BC⊥平面PAC．（4分）
（2）∵D为PB的中点，DE∥BC，
∴E为PC的中点，
∴D(-

1

4

a，

3

4

a，

1

2

a)，E(0，

3

4

a，

1

2

a)，
∴又由（1）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E．
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵

AD

=（-

1

4

a，

3

4

a，

1

2

a），

AE

=（0，

3

4

a，

1

2

a），
∴cos∠DAE=

AD • AE

| AD |•| AE |

=

14

4

，sin∠DAE=

1-( 14 4 )2

=

2

4

．
∴AD与平面PAC所成的角的正弦值为

2

4

．（12分）