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题目
题型:不详难度:来源:
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BA=BC=2,且


BA


BC
=0
,异面直线A1B与AC成60°角,点G,E分别是棱AC,BB1的中点,点F是棱B1C1上的动点.
(1)证明:A1E⊥GF;
(2)求二面角B1-A1C-C1的大小;
(3)求点E到面AB1C的距离.魔方格
答案
(1)证明:以B为原点,BA,BC,BB1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设棱柱的高为h,
则A(2,0,0),C(0,2,0),G(1,1,0),A1(2,0,h)

魔方格

所以


BA1
=(2,0,h)


CA
=(2,-2,0)

所以cos<


BA1


CA
>=
4
2


2


4+h2
=
1
2

解得h=2,
所以E(0,0,1),A1(2,0,2),
所以


A1E
=(-2,0,-1)

因为F是B1C1上的动点,设F(0,y,2),
所以


GF
=(-1,y-1,2)

所以


A1E


GF
=0

所以A1E⊥GF.
(2)因为平面A1CC1的一个法向量是


BG
=(1,1,0)

设平面A1B1C的一个法向量


n
=(x,y,z)

因为


A1C
=(-2,2,-2)


A1B1
=(-2,0,0)

所以







n


A1C
=0


n


A1B1
=0
,可解得一个法向量为


n
=(0,1,1)

所以cos<


n


BG
>=
1
2

所求角为60°.
(3)易求得面AB1C的法向量


n
=(1,1,1)

又因为


EA
=(2,0,-1)

所以E到面AB1C的距离为d=
|


n


EA
|
|


n
|
=


3
3
核心考点
试题【如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BA=BC=2,且BA•BC=0,异面直线A1B与AC成60°角,点G,E分别是棱AC,BB1的中点,点F是棱B1C1上】;主要考察你对线线角等知识点的理解。[详细]
举一反三
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为棱AA1、BB1的中点,则点B1到平面D1EF的距离为______.
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如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点.
(1)证明:平面EB1D⊥平面B1CD;
(2)求二面角B1-CD-E的大小;
(3)求点E到平面B1CD的距离.魔方格
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如图所示,已知P、Q是单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面A1B1BA和面ABCD中心
(1)求证:PQ平面BCC1B1
(2)求PQ与面A1B1BA所成的角.魔方格
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如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2,求平面A1BC1与ACD1的距离.魔方格
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已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5).
(1)求△ABC的面积;
(2)求△ABC中AB边上的高.
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