题目

题型：不详难度：来源：

(本题满分12分) 如图，平面⊥平面，其中为矩形，为梯形，∥，⊥，＝＝2＝2，为中点．
(Ⅰ) 证明；
(Ⅱ) 若二面角的平面角的余弦值为，求的长．

答案

(Ⅰ) 证明见解析(Ⅱ)

解析

试题分析：(Ⅰ)由已知为正三角形，为中点，所以 ，
因为平面⊥平面，平面⊥平面,
所以平面，所以.                                            ……4分
(Ⅱ) 方法一：设．取的中点，由题意得．
因为平面⊥平面，，所以⊥平面，
所以,所以⊥平面．
过作，垂足为，
连结，则，
所以为二面角的平面角．                                         ……8分
在直角△中，，得．
在直角△中，由＝sin∠AFB＝，得＝，所以＝．
在直角△中，，＝，得＝．
因为＝＝，得x＝，所以＝．                      ……12分
方法二：设．以为原点，所在的直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系．
则 (0，0，0)，(－2，0，0)，(，0，0)，(－1，，0)，(－2，0，)，
所以＝(1，－，0)，＝(2，0，－)．
因为⊥平面，所以平面的法向量可取＝(0，1，0)．
设＝为平面的法向量，则

所以，可取＝(，1，)．因为cos<，>＝＝，
得x＝，所以＝．                                                   ……12分
点评：遇到立体几何的证明题，要紧扣定理，要把定理要求的条件一一列清楚；而利用空间向量解决立体几何问题时，要建立右手空间直角坐标系，要准确计算.