题目
题型:不详难度:来源:
如图所示,四棱锥中,底面为正方形,平面,,,,分别为、、的中点.
(1)求证:;
(2)求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值.
答案
解析
试题分析:(1)∵平面,平面,
∴ 又为正方形,∴.又,…………3分
∴平面 ∵平面,∴. ………………………………5分
∵中,中位线,∴ ……………6分
(2)记AD中点为H,连结FH、HG,易知GH//DC,,
又中EF//DC,∴EF//GH所以E、F、H、G四点共面……7分
∴平面EFG与平面ABCD交于GH,所求锐二面角为F-GH-D.……………8分
由(1)平面,EF//DC//GH∴平面
即平面FHD,平面FHD,
所以FH,DH,
∴二面角F-GH-D的平面角是 ……………………11分
FH是等腰直角的中位线,= …………………………13分
∴所求锐二面角的余弦值为.………………14分
证法2:DA、DC、DP两两垂直,以为原点建立空间直角坐标系…1分
则,, ,,G(1,2,0), ………3分
(1), ………………4分
∵ ∴……6分
∴ ………………………………………7分
(2)∵平面,
∴是平面的一个法向量.………9分
设平面EFG的法向量为,∵
令,得是平面的一个法向量. …………11分
∵ …………………………13分
∴所求锐二面角的余弦值为. ……………………………14分
点评:二面角的求法是立体几何中的一个难点。我们解决此类问题常用的方法有两种:①综合法,综合法的一般步骤是:一作二说三求。②向量法,运用向量法求二面角应注意的是计算。很多同学都会应用向量法求二面角,但结果往往求不对,出现的问题就是计算错误。
核心考点
试题【(本小题满分14分)如图所示,四棱锥中,底面为正方形,平面,,,,分别为、、的中点.(1)求证:;(2)求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值.】;主要考察你对线线角等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求证://平面;
(2)求:到平面的距离。
则与所成角为
A. | B. | C. | D. |
如图,在三棱柱中,平面, ,点是的中点.
求证:(1);(2)平面.
(1)若N为线段PB的中点,求证:EN//平面ABCD;
(2)求点到平面的距离.
①∥⊥m; ②⊥∥m;
③∥m⊥; ④⊥m∥.
其中正确命题的序号是 。
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