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题目
题型:不详难度:来源:
如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.

(1)求证:平面PAC⊥平面PBC
(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角CPBA的余弦值.
答案
(1)见解析(2)
解析
(1)由AB是圆的直径,得ACBC
PA⊥平面ABCBC⊂平面ABC,得PABC.
PAACAPA⊂平面PACAC⊂平面PAC
所以BC⊥平面PAC.
因为BC⊂平面PBC
所以平面PBC⊥平面PAC.
(2)过CCMAP,则CM⊥平面ABC.
如图,以点C为坐标原点,分别以直线CBCACMx轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.

在Rt△ABC中,因为AB=2,AC=1,所以BC.
因为PA=1,所以A(0,1,0),B(,0,0),P(0,1,1).故=(,0,0),=(0,1,1).
设平面BCP的法向量为n1=(x1y1z1),则所以
不妨令y1=1,则n1=(0,1,-1).因为=(0,0,1),=(,-1,0),
设平面ABP的法向量为n2=(x2y2z2),则所以 
不妨令x2=1,则n2=(1,,0).于是cos〈n1n2〉=.
由题图可判断二面角为锐角,所以二面角CPBA的余弦值为.
核心考点
试题【如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.(1)求证:平面PAC⊥平面PBC;(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角C-PB-A的余弦值】;主要考察你对线线角等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知两条直线ab与两个平面αβbα,则下列命题中正确的是(  ).
①若aα,则ab;②若ab,则aα;③若bβ,则αβ;④若αβ,则bβ.
A.①③B.②④C.①④D.②③

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已知αβγ是三个不重合的平面,ab是两条不重合的直线,有下列三个条件:①aγbβ;②aγbβ;③bβaγ.如果命题“αβabγ,且________,那么ab”为真命题,则可以在横线处填入的条件是(  ).
A.①或②B.②或③C.①或③D.只有②

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已知两条不同的直线mn和两个不同的平面αβ,给出下列四个命题:
①若mαnβ,且αβ,则mn;②若mαnβ,且αβ,则mn;③若mαnβ,且αβ,则mn;④若mαnβ,且αβ,则mn.其中正确的个数有(  ).
A.1B.2C.3 D.4

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如图所示,在四边形A-BCD中,ADBCADAB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A­BCD,则在三棱锥ABCD中,下列命题正确的是(  ).
A.平面ABD⊥平面ABC
B.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDC
D.平面ADC⊥平面ABC

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下列四个正方体中,AB为正方体的两个顶点,MNP分别为其所在棱的中点,能得出直线AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号).

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