题目

题型：上海高考真题难度：来源：

在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°，
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）。

答案

解：（1）依题设可知∠PBD=60°是PB与面ABCD所成的角，
且BD=2，BO=1，
设PO=h，
则在Rt△POB中，，

；
（2）设AB的中点为F，连EF，DF，
易知△PBO是边长为2的等边三角形，
∴，同理，
，
∴，
∵EF∥PA，
∴∠FED=θ是异面直线PA与DE所成的角，
在△DEF中，DF²=ED²+EF²-2ED·EFcosθ，
，
∴，
∴DE与PA所成的角为。