题目
题型:不详难度:来源:
(1)求三棱锥D-ABC的体积;
(2)求二面角D-AC-B的大小.
(3)求异面直线AB、CD所成的角.
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答案
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(1)过D向平面β作垂线,垂足为O,连接OA并延长至E,
∵AB⊥AD,OA为DA在平面β内的射影,
∴AB⊥OA,∴∠DAE为二面角α-l-β的平面角 (2分)
∴∠DAE=120°,∠DAO=60°,
∵AD=AB=2,∴Rt△ADO中,DO=ADsin60°=
3 |
∵△ABC是等腰直角三角形,斜边AB=2.
∴S△ABC=
1 |
2 |
又∵D到平面β的距离DO=
3 |
∴VD-ABC=
1 |
3 |
| ||
3 |
(2)过O在β内作OM⊥AC于M,连接DM,则AC⊥DM,
∴∠DMO为二面角D-AC-B的平面角,(6分)
在△DOA中,OA=2cos60°=1,且∠OAM=∠CAE=45°,
∴Rt△OAM中,OM=OAsin45°=
| ||
2 |
∴Rt△ODM中,tan∠DMO=
OD |
OM |
6 |
因此,∠DMO=arctan
6 |
6 |
(3)在β内过C作AB的平行线交AE于F,
∴∠DCF(或其补角)为异面直线AB、CD所成的角 (10分)
∵AB⊥AF,AB⊥AD,CF∥AB,
∴CF⊥DF,结合∠CAE=45°,得△ACF为等腰直角三角形,
又∵AF等于C到AB的距离,即为△ABC斜边上的高,
∴AF=CF=
| ||
2 |
∴DF2=AD2+AF2-2AD•AF•cos120°=7,得DF=
7 |
在Rt△DCF中,tan∠DCF=
DF |
CF |
7 |
7 |
即异面直线AB、CD所成的角为arctan
7 |
核心考点
试题【如图α-l-β是120°的二面角,A、B两点在棱l上,AB=2,D在α内,三角形ABD是等腰直角三角形,∠DAB=90°,C在β内,三角形ABC是等腰直角三角形】;主要考察你对线线角等知识点的理解。[详细]
举一反三
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(Ⅰ)求证:A1E⊥平面BEP;
(Ⅱ)求直线A1E与平面A1BP所成角的大小;
(Ⅲ)求二面角B-A1P-F的大小(用反三角函数表示).
A.30° | B.45° | C.60° | D.90° |
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AE |
EB |
CF |
FD |
A.f(λ)在(0,+∞)上单调递增 |
B.f(λ)在(0,+∞)上单调递减 |
C.f(λ)在(0,1)上单调递增,而在(1,+∞)上单调递减 |
D.f(λ)在(0,+∞)上为常数 |
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(1)求证:BA′⊥面A′CD;
(2)求异面直线A′C与BD所成角的余弦.
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