题目

题型：湖南省高考真题难度：来源：

如图，在圆锥PO中，已知PO=，⊙O的直径AB=2，C是的中点，D为AC的中点，
（Ⅰ）证明：平面POD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角B-PA-C的余弦值．

答案

解：（Ⅰ）连接OC，因为OA=OC，D为AC的中点，
所以AC⊥OD，
又PO⊥底面⊙O，
AC底面⊙O，
所以AC⊥PO，
因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，
所以AC⊥平面POD，
而AC平面PAC，
所以平面POD⊥平面PAC。
（Ⅱ）在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，由（Ⅰ）知，平面POD⊥平面PAC，
所以OH⊥平面PAC，
又PA平面PAC，所以，
在平面PAO中，过O作OG⊥PA于G，
连接HG，则有PA⊥平面OGH，从而PA⊥HG，
所以∠OGH是二面角B-PA-C的平面角，
在Rt△ODA中，，
在Rt△POD中，，
在Rt△POA中，，
在Rt△OHG中，，
所以，
故二面角B-PA-C的余弦值为。