题目

题型：河南省模拟题难度：来源：

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=．
（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求三棱锥C﹣PAB的体积．

答案

证明：（Ⅰ）∵在△ABD中，由于AD=4 ，BD=8，
∴AD²+BD²=AB²， ∴AD⊥BD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD平面ABCD，
∴BD⊥平面PAD．
又BD平面MBD，
∴平面MBD⊥平面PAD．
（Ⅱ）过P作PO⊥AD交AD于O，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PO⊥平面ABCD．
∴PO为棱锥P﹣ABC的高．
又△PAD是边长为4的等边三角形，
∴PO= ×4=2 ．
又S_△ABC=S_△ABD= ADBD =16，
∴V_{棱锥C﹣PAB}=V_{棱锥P﹣ABC}= ×16×2  = ．